CARACTERÍSTICAS DE
UNA TABLA:
RANGO:
En estadística
descriptiva se denomina rango estadístico (R) o recorrido
estadístico, a la diferencia entre el valor máximo y el valor
mínimo; por ello, comparte unidades con los datos. Permite obtener una
idea de la dispersión de los datos, cuanto mayor es el rango, más
dispersos están los datos de un conjunto.
EJEMPLOS:
para
una serie de datos de carácter cuantitativo, como lo es la estatura medida en
centímetros, tendríamos:
es
posible ordenar los datos como sigue:
donde
la notación x(i) indica que se trata del
elemento i-ésimo de la serie de datos. De este modo, el rango sería la
diferencia entre el valor máximo (k) y el mínimo; o, lo que es lo mismo:
En
nuestro ejemplo, con cinco valores, nos da que R = 185-155 = 30.
ANCHURA
DE INTERVALOS DE CLASE:
Tipos
de intervalos de clase Este tipo de clase es el más utilizado en los
cálculos estadísticos; cuando todas las clases son del mismo tamaño, los
cálculos relacionados con la distribución de frecuencia son simplificados
considerablemente. En términos generales, este tipo de distribución es el que
se utiliza comúnmente en casi todas las investigaciones.
|
Ejemplo:CLASE
|
Fi
|
|
5 – 7
|
5
|
|
8 – 10
|
10
|
|
11 – 13
|
15
|
|
14 – 16
|
18
|
|
17 – 19
|
11
|
|
20 – 22
|
5
|
|
Totales
|
64
|
Clase desigual
de tamaño Los intervalos de clase son desiguales no son frecuentes en el
análisis estadístico, la utilización de los mismos se debe evitar; sin embargo,
en algunas
investigaciones
es indispensable su utilización; tal es el caso de las investigaciones que
tienen como propósito particular analizar valores que varían en un amplio
recorrido de la variable. Cuando se utiliza este tipo de clase de los
intervalos de clase deberían ser incrementados de una forma ordenada, de ser
posible. Este tipo de clases se utiliza algunas veces para reportar datos
relacionados con valuaciones de activos o ingresos personales.
|
Ejemplo: CLASE
|
fi
|
||
|
Menos de 150,000
|
67
|
?
|
|
|
150,000 – 239,000
|
36
|
194,500
|
|
|
340,000 – 429,000
|
10
|
384,500
|
|
|
430,000 – 519,000
|
8
|
474,500
|
|
|
520,000 – 609,000
|
7
|
564,500
|
|
|
610,000 – 699,000
|
8
|
654,500
|
|
|
700,000 – 789,000
|
7
|
744,500
|
|
|
790,000 – y más
|
7
|
?
|
|
|
TOTALES
|
135
|
||
NCRIc
La
amplitud de clase, longitud o ancho de una clase Es el número de valores o
variables que concurren a una clase determinada. La amplitud de clase se
designa con las letras Ic. Existen diversos criterios para determinar la
amplitud de clases, ante esa diversidad de criterios, se ha considerado que lo
más importante es dar un ancho de longitud de clase a todos los intervalos de
tal manera que respondan a la naturaleza de los datos y al objetivo que se
persigue y esto se logra con la práctica. Existe una fórmula para
determinar Ic y se expresa así: Ic=R/NC
Donde:
Ic =
Amplitud de clase
R=
Rango
NC =
Número de clases
Con la
fórmula anterior se puede determinar
Ic=R/1+322.3(LOG,N)
Sturges
el cual establece que:
Donde:
Ic =
Amplitud de clase
R =
Rango
N =
Número total de datos
Nota:
Normalmente el resultado final es un número fraccionario, el cual no es
adecuado para la práctica, sin embargo, se puede aplicar la técnica de redondeo
para convertirlo en un número entero.
Nosotros
utilizaremos el método de Sturges para determinar el
Ejemplo:
Sean
los siguientes datos horas extras laboradas por obreros en un mes. Calcule el
rango y el intervalo de clase.
22 39
37 28 23 39 24 38 31 35 36 28 23 27 38 40 22 23 36 27
32 33
26 60 39 33 40 27 34 22 30 31 37 33 41 39 58 59 56 41
54 56
57 58 39 40 34 45 53 52 52 28 36 37 40 26 34 25 23 32
56 33
58 40 36 25 42 33 45 55 29 52 38 28 38 38 32 42 53 58
45 43
40 28 60 41 37 42 31 45 30 28 40 37 28 44 40 39 57 60
=100
DATOS R = X
R = 60 – 22 + 1
R = 38+1
R = 39
Ic=R/1+322.3(LOG,N)
ic=39/1+322.3(log,100)
ic=39/1+322.3(2)
ic=39/7.644
ic=5.1020.
Por lo
tanto, el ancho de la clase será de 5. M – Xm +
UM Ic de una distribución de frecuencia de clase siempre y cuando el
mismo sea aplicable. Ic, conociendo el rango y el número de clases.
Cuando se tenga duda en determinar la amplitud de clase de una serie de
valores, es de gran utilidad utilizar el método sugerido por Hebert, A.
Clase
de igual tamaño
CATEGORÍA:
La categoría es
cada una de las posibles variaciones de una variable. Categorías de la variable
sexo son masculino y femenino, de la variable ocupación pueden ser arquitecto,
médico, etc, y de la variable edad pueden ser 10 años, 11 años, etc.
Cuando
la variable se mide cuantitativamente, es decir cuando se expresa
numéricamente, a la categoría suele llamársela valor. En estos casos, el
dato incluye también una unidad de medida, como por ejemplo años, cantidad de
hijos, grados de temperatura, cantidad de piezas dentarias, centímetros,
etc. El valor es, entonces, cada una de las posibles variaciones de
una variable cuantitativa.
INTERVALOS
DE CLASE Y LIMITES DE CLASE:
Los intervalos
de clase se emplean si las variables toman un número grande
de valores o la variable es continua.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clasese le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Rango
El rango de clase, conocido también como amplitud de clase o recorrido de clase, es el límite dentro de los cuales están comprendidos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que toma la variable en un estudio de investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.
Se agrupan los valores en intervalos que tengan la misma amplitud denominados clases. A cada clasese le asigna su frecuencia correspondiente.
Límites de la clase
Cada clase está delimitada por el límite inferior de la clase y el límite superior de la clase.
Rango
El rango de clase, conocido también como amplitud de clase o recorrido de clase, es el límite dentro de los cuales están comprendidos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que toma la variable en un estudio de investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra R.
|
UM normalmente es igual
a 1, y se obtiene al obtener la diferencia entre 2 ó más datos consecutivos
de la serie de valores, sin embargo pueden ser menor a la unidad.EJEMPLO
|
A
|
B
|
C
|
|
OBSERVACIONES
|
6, 9 , 11, 12, 19, 20,
26, 27, 32, 33, 39
|
0.5, 0.6, 0.10, 0.11,
0.19, 0.21, 0.22
|
6, 9, 21, 33, 39, 48
|
|
UNIDAD DE MEDIDA
|
1
|
0.1
|
3
|
Para
calcular el rango se utiliza la siguiente fórmula:
R
= XM - Xm + UM
Dónde:
R = Rango
X
X
UM = Unidad de Medida, que por lo general es la unidad.
Con los siguientes datos, que corresponden a los años de servicio de 60
empleados de la empresa "X", calcule el rango de la distribución de
la frecuencia:
|
3
|
5
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
8
|
|
4
|
8
|
6
|
3
|
8
|
10
|
7
|
10
|
9
|
10
|
|
8
|
3
|
5
|
7
|
8
|
6
|
10
|
9
|
7
|
8
|
|
5
|
3
|
8
|
7
|
8
|
10
|
8
|
10
|
8
|
7
|
|
7
|
9
|
8
|
7
|
6
|
5
|
7
|
8
|
8
|
9
|
|
8
|
10
|
7
|
6
|
7
|
8
|
6
|
7
|
6
|
10
|
R
= XM - Xm + UM
Sustituyendo:
R = 10
– 3 + 1 = 8,
Entonces
el rango es igual a 8.
Anchura
o intervalo de clase
Son las
divisiones o categorías en las cuales se agrupa un conjunto de datos ordenados
con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango
o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores
comprendidos entre los dos límites (límite Superior de la Clase y Límite
Inferior de la Clase).
Límite
o frontera de clase
Las
clases de una distribución de frecuencia indican las cotas o fronteras de cada
clase en la distribución, las clases están formadas por dos números denominados
límites aparentes (LA), ejemplo 32 – 37, el primero de estos dos (32) se llama
límite inferior aparente (LIA) y el segundo (37) se le denomina límite superior
aparente (LSA).
Límites
reales
Los
límites reales o verdaderos de una clase son aquéllos que se obtienen
restándole media unidad de medida al límite aparente inferior de una clase y
sumándole media unidad de medida al límite superior aparente de las diferentes
clases, es decir, son valores no observables de la variable en estudio, puesto
que no lo registra la unidad utilizada. Y se denominarán límite inferior real
(LIR) y límite superior real (LSR).
En el
ejemplo anterior, los límites reales aparentes quedarían:
|
CLASE
|
LIA
|
LSA
|
LIR
|
LSR
|
|
32-37
|
32
|
37
|
31.5
|
37.5
|
M =
Dato mayor m = Dato menor
DISTRIBUCIÓN DE
FRECUENCIAS:
En estadística,
se le llama distribución de frecuencias a la agrupación de datos en
categorías mutuamente excluyentes que indican el número de observaciones en
cada categoría.1 Esto proporciona un valor añadido a la
agrupación de datos. La distribución de frecuencias presenta las observaciones
clasificadas de modo que se pueda ver el número existente en cada clase. Estas
agrupaciones de datos suelen estar agrupadas en forma de tablas.
Una distribución
de frecuencia es un formato tabular en la que se organizan los datos en
clases, es decir, en grupos de valores que describen una característica de los
[datos] y muestra el número de observaciones del conjunto
de datos que caen en cada una de las clases.
La
tabla de frecuencias ayuda a agrupar cualquier tipo de dato numérico. En
principio, en la tabla de frecuencias se detalla cada uno de los valores
diferentes en el conjunto de datos junto con el número de veces que aparece, es
decir, su Frecuencia. Se puede complementar la frecuencia absoluta con la
denominada frecuencia relativa, que indica la frecuencia en porcentaje
sobre el total de datos. En variables cuantitativas se distinguen por pudin
otra parte la frecuencia simple y la frecuencia acumulada.
La
tabla de frecuencias puede representar gráficamente en un histograma(Diagrama
De Barras). Normalmente en el eje vertical se coloca las frecuencias y en el
horizontal los intervalos devalores.
La
distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma
de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia
correspondiente.
MEDIDAS
DE TENDENCIA CENTRAL
Al
describir grupos de observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la
información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse
hacia el centro de la distribución de datos se
denomina medida o parámetro de tendencia central o de
centralización. Cuando se hace referencia únicamente a la posición de estos
parámetros dentro de la distribución, independientemente de que ésta esté más o
menos centrada, se habla de estas medidas como medidas de posición.1 En
este caso se incluyen también los cuantiles entre estas medidas.
Entre
las medidas de tendencia central tenemos:
·
Media.
·
Media ponderada.
·
Media geométrica.
·
Media armónica.
·
Mediana.
·
Moda.
Se debe
tener en cuenta que existen variables cualitativas y variables cuantitativas,
por lo que las medidas de posición o medidas de
tendencia se usan de acuerdo al tipo de variable que se está observando,
en este caso se observan variables cuantitativas.
MEDIA:
En matemáticas y estadística una media o promedio es
una medida de tendencia central que según la Real Academia
Española resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un
conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por
sí solo a todo el conjunto.
MEDIA ARITMÉTICA:
La media
aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina
"promedio".
La
media se confunde a veces con la mediana o moda. La media
aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin
embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el
mismo valor que la mediana o que la moda. La media, moda y mediana son
parámetros característicos de una distribución de probabilidad. Es a veces una
forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las
distribuciones exponencial y de Poisson.
MEDIA
ARITMÉTICA PONDERADA:
A veces
puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia
para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada.
Si
La
media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala,
de las variables, es decir si X es una variable aleatoria
e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es
decir, Y = a·X + b (donde a representa la
magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene
que:
MEDIA
PONDERADA
La media
ponderada es una medida de tendencia central, que es apropiada cuando en
un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa (o peso)
respecto de los demás datos. Se obtiene del cociente entre la suma de los
productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.
Para
una serie de datos no vacía
a la
que corresponden los pesos
la media
ponderada se calcula de la siguiente manera
Un
ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas en la que
se asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que consta
el examen. Así, se multiplicaría cada nota por su correspondiente peso y el
resultado obtenido se divide entre la suma de los pesos asignados.
EJEMPLO:
Datos:
Pesos:
Media Ponderada:
MEDIA GEOMÉTRICA:
La
media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son
interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la
media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.
EJEMPLO:
la
media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores)
es
MEDIA
ARMÓNICA:
La
media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen
en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia
por unidad de tiempo).
EJEMPLOS:
la
media armónica de los números:
34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:
MEDIANA
La
mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los
datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.4 Por
ejemplo, la mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos
respectivos hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto
que, una vez ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que
ocupa la posición central es 2:
En caso
de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la
variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio
entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los
siguientes:
Se toma
como mediana
Existen
métodos de cálculo más rápidos para datos más númerosos (véase el artículo
principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores
agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de
éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.
MODA
La moda
se refiere al dato más repetido, el valor de la variable con
mayor frecuencia absoluta.2 En cierto sentido la
definición matemática corresponde con la locución "estar de moda", esto
es, ser lo que más se lleva.
Su
cálculo es extremadamente sencillo, pues sólo necesita un recuento. En
variables continuas, expresadas en intervalos, existe el denominado intervalo
modal o, en su defecto, si es necesario obtener un valor concreto de la
variable, se recurre a la interpolación.
Por
ejemplo, el número de personas en distintos vehículos en una carretera:
5-7-4-6-9-5-6-1-5-3-7. El número que más se repite es 5, entonces la moda es 5.
Hablaremos
de una distribución bimodal de los datos, cuando encontremos dos modas, es
decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta máxima. Cuando en una
distribución de datos se encuentran tres o más modas, entonces es multimodal.
Por último, si todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no
hay moda.
Cuando
tratamos con datos agrupados en intervalos, antes de calcular la moda, se ha de
definir el intervalo modal. El intervalo modal es el de mayor frecuencia
absoluta.
La
moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide el intervalo
modal en dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo,
que verifiquen que:
Siendo 
la
frecuencia absoluta del intervalo modal y 
y 
las
frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente.
la
frecuencia absoluta del intervalo modal y y las
frecuencias absolutas de los intervalos anterior y posterior, respectivamente.
MEDIANA
La
mediana es un valor de la variable que deja por debajo de sí a la mitad de los
datos, una vez que éstos están ordenados de menor a mayor.
EJEMPLOS:
la
mediana del número de hijos de un conjunto de trece familias, cuyos respectivos
hijos son: 3, 4, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1 y 1, es 2, puesto que, una vez
ordenados los datos: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, el que ocupa la
posición central es 2:
En caso
de un número par de datos, la mediana no correspondería a ningún valor de la
variable, por lo que se conviene en tomar como mediana el valor intermedio
entre los dos valores centrales. Por ejemplo, en el caso de doce datos como los
siguientes:
Se toma
como mediana
Existen
métodos de cálculo más rápidos para datos más númerosos (véase el artículo
principal dedicado a este parámetro). Del mismo modo, para valores
agrupados en intervalos, se halla el "intervalo mediano" y, dentro de
éste, se obtiene un valor concreto por interpolación.
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